Формулы

Теория

Степень числа — это когда число нужно умножить на само себя указанное количество раз (в простом смысле). Но иногда это может приводить даже к дробям (формулы ниже).

Примеры вычислений со степенями

• Вычислить:

  $(2\frac{10}{27})^{-\frac{2}{3}} \cdot 0.81^{-0.5} + (\frac{1}{2})^2 + 2^{-3}$
  $\begin{aligned} &(2\frac{10}{27})^{-\frac{2}{3}} \cdot 0.81^{-0.5} + (\frac{1}{2})^2 + 2^{-3} = \\ &(\frac{64}{27})^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{0.81^{0.5}} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2^3} = \\ &\frac{\sqrt[2]{27^2}}{\sqrt[2]{64^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{0.81}} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \\ &\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{0.9} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \\ &\frac{9}{14.4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \\ &0.625 + 0.25 + 0.125 = 1 \end{aligned}$
• Вычислить:

  $125^{-\frac{2}{3}} - 16^{\frac{1}{2}} + 343^{-\frac{1}{3}} - 3$
  $\begin{aligned} &125^{-\frac{2}{3}} - 16^{\frac{1}{2}} + 343^{-\frac{1}{3}} - 3 = \\ &(5^3)^{-\frac{2}{3}} - \sqrt{16} + \frac{1}{\sqrt[2]{343}} - 3 = \\ &5^{-2} - 4 + \frac{1}{7} - 3 = \\ &\frac{1}{25} - 4 + \frac{1}{7} - 3 = \\ &\frac{7}{175} + \frac{25}{175} - 7 = \\ &\frac{32}{175} - 7 \Rightarrow - \frac{1193}{175} \Rightarrow -6\frac{143}{175} \end{aligned}$
• Найти значение выражения:

  $(2-15^{\frac{1}{4}})(2+15^{\frac{1}{4}}) / (3^\frac{1}{2} - 5^{\frac{1}{2}})^2$
  $\begin{aligned} (2-15^{\frac{1}{4}})(2+15^{\frac{1}{4}}) / (3^\frac{1}{2} - 5^{\frac{1}{2}})^2 = \end{aligned}$

  Использую формулу сокращённого умножения Разность квадратов:

  $\begin{aligned} 2^2 - (15^{\frac{1}{4}})^2 / (3^\frac{1}{2} - 5^{\frac{1}{2}})^2 = \end{aligned}$

  Использую формулу сокращённого умножения Квадрат разности:

  $\begin{aligned} &\frac{2^2 - 15^{\frac{1}{2}}}{3 - 2 \cdot 15^{\frac{1}{2}} + 5} = \\ &\frac{4 - 15^{\frac{1}{2}}}{8 - 2 \cdot 15^{\frac{1}{2}}} = \\ &\frac{4 - 15^{\frac{1}{2}}}{2 (4 - 15^{\frac{1}{2}})} = \frac{1}{2} \end{aligned}$
• Найти значение выражения:

  $(16^{-0.25} - 3^{-\frac{1}{2}}) \cdot ((3 \sqrt{3})^{-\frac{1}{3}} + 4^{-0.5})$
  $\begin{aligned} (16^{-\frac{1}{4}} - 3^{-\frac{1}{2}}) &\cdot ((3 \cdot 3^{\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{3}} + 4^{-\frac{1}{2}}) \\ (4^{-\frac{1}{2}} - 3^{-\frac{1}{2}}) &\cdot (3^{-\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{6}} + 4^{-\frac{1}{2}}) \\ (2^{-1} - 3^{-0.5}) &\cdot (3^{-\frac{1}{2}} + 4^{-1}) \\ (2^{-1} - 3^{-0.5}) &\cdot (3^{-0.5} + 4^{-1}) \end{aligned}$

  Использую формулу сокращённого умножения «Разность квадратов»:

  $\begin{aligned} (2^{-1})^2 - (3^{-0.5})^2 &= 2^{-2} - 3^{-1} \\ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^1} &= \frac{3}{12} - \frac{4}{12} = -\frac{1}{12} \end{aligned}$