Одночлен

Одночленом называют произведение чисел, переменных и их натуральных степеней.

Примеры одночленов:

  • -4x (Тут используется одночлен с коэффициентом -1 )
  • 4x
  • 7a²b³

Степенью одночлена с коэффициентом, отличным от нуля, называют сумму показателей степеней входящих в него переменных:

  • 2a²b³ — одночлен пятой степени
  • 2a² — одночлен второй степени
  • 2a²b — одночлен третьей степени
  • 2 — одночлен нулевой степени

Подобными называют одночлены, у которых одинаковая часть, содержащая степени и переменные:

  • 2a²b³ и 4a²b³
  • a²b³ и -a²b³

Операции над одночленами

Умножение
  • 4 * a^3 * b^2 * -4 * a^4 * b^3 = -16 * a^7 * b^5
Деление
  • 8*a^3 * b^2 / -4*a^2 * b = -2*a*b
Возведение в степень
  • (4 * a^4 * b^3)^3 = 64 * a^(12) * b^9
Сложение и вычитание

Складывать и вычитать можно только подобные одночлены.

  • 4 * a^2 + 2 * a^2 = 6 * a^2
  • 4 * a^2 - 2 * a^2 = 2 * a^2

Многочлен

Многочленом называют сумму одночленов. Двухчлен — многочлен из двух членов. Трёхчлен — многочлен из трёх членов.

Многочлен: 4*a - 2*a*b + a -4 состоит из четырёх одночленов: 4*a, 2*a*b, a, -4

Многочлен имеет стандартный вид, если все его члены записаны в стандартном виде и среди них нет подобных.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов:

  • 2*a*b - 5*a^2 + 2*a^3 * b^2 тут член с наибольшей степенью — 2*a^3 * b^2, следовательно, степень многочлена равна 5.

    • Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения одночлена и многочлена или произведения многочленов. В большинстве случаев выносят общий множитель за скобки.

Операции над многочленами

Сложение и вычитание

Складывать и вычитать можно только подобные одночлены.

Если перед скобками стоит '-' , то каждый член в скобках нужно умножить на -1:
a - (b - c) = a - b + c

Примеры:

  • 4*a^2 + 4*a - (2*a^2 - 2*a +1) = 2*a^2 + 6*a - 1
  • 2*a*b + 4*a + 3*b^2 - (a*b + 2*b^2) = a*b + 4*a + b^2
Деление многочлена на одночлен

Чтобы делить многочлен на одночлен, нужно сначала делить каждый член многочлена на одночлен, затем сложить что получилось.

По факту делишь каждый член многочлена на одночлен:

  • 8*a^4 - 6*a^3 + 8*a^2 / 2*a^2 = 8*a^4 / 2*a^2 - 6*a^3 / 2*a^2 + 8*a^2 / 2*a^2 = 4*a^2 - 3*a + 4
Умножение многочленов

Умножай каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена, пока в первом не закончатся члены для умножения:

  • 2*a * (a^2 + 3*a - 1) = 2*a * a^2 + 2*a * 1 = 2*a^3 + 6*a - 2*a
  • (b + c)(b - c) = bb + bc - bc - cc = b^2 + bc - bc - c^2