• Сложение

  a + b = c
  Где a — слагаемое (число, для сложения)
  b — слагаемое (число, для сложения)
  c — сумма (результат сложения)
  

• Вычитание

  a - b = c
  Где a — уменьшаемое (число, которое уменьшают)
  b — вычитаемое (число, НА которое уменьшают)
  c — разность (результат сложения)
  

• Умножение

  a * b = c
  Где a — множитель (число, которое умножают)
  b — множитель (число, которое умножают)
  c — произведение (результат сложения)
  

  При умножении двух отрицательных чисел, ответ будет положительный. Если хоть одно из чисел отрицательное, то ответ будет отрицательным.

• Деление

  a / b = c
  Где a — делимое (число, которое делят)
  b — делитель (число, на которое делят)
  c — частное (результат деления)
  

  При делении двух отрицательных чисел, ответ будет положительный. Если хоть одно из чисел отрицательное, то ответ будет отрицательным.

• Деление с остатком

  a / b = c + d
  Где a — делимое (число, которое делят)
  b — делитель (число, на которое делят)
  c — неполное частное (результат деления, частная часть)
  d — остаток от деления (результат деления, остаток)
  

  Делить число a, на число b — значит найти такие числа c и d, что a = b * c + d, причём d < b

• Возведение в степень

  Число a называют основанием степени, число n - показателем степени.

  aⁿ = a * a * a ... a_n

  Пример: 5⁵ = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 3125

• Раскрытие скобок

  Если перед скобками стоит - , то каждый член в скобках нужно умножить на -1:
  a - (b - c) = a - b + c
  (правило из сложения многочленов)

Простым числом называют число, которое имеет только два различных делителя.

Составным числом называют число, которое имеет более двух делителей.

Два натуральных числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Среднее арифметическое нескольких чисел — это частное, от деления суммы этих чисел на их количество.

Делителем числа a называется то число, на которое делится данное число a без остатка.

Общим делителем чисел a и b называется число, на которое делятся два данных числа a и b без остатка.

Наибольшим общим делителем чисел a и b (НОД(a, b)) называется наибольшее число, на которое делятся два данных числа a и b без остатка.

Кратным числа a называется число, которое делится на данное число a без остатка.

Общим кратным чисел a и b называется число, которое делится на числа a и b без остатка.

Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b (НОК(a, b)) называется наименьшее натуральное число, которое делится на два данных числа без остатка.

Числовое выражение — выражение, которое содержит в себе: числа, знаки действий, скобки. Значение числового выражения — число, полученное в результате выполнения указанных в выражении действий. Если в числовых выражениях содержатся ещё переменные, то выражения называются переменными. Областью определения выражения с переменными называют все те значения переменных, при которых выражение имеет смысл.

Уравнением называется равенство, содержащее переменную. Корнем уравнения называется значение переменной (число), подстановка которого в уравнение даёт верное числовое равенство.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что уравнение не имеет корней.

Тождественно равными выражениями называют выражения, которые равны между собой: 11 + a = a + 11, 5 * a = a * 5, a * a * a = a³. Само равенство этих двух выражений называют тождеством.

ℤ

Целые числа

—

числа без дробной части, положительные и отрицательные. Обозначаются буквой ℤ (от немецкого Zahlen)

ℕ

Натуральные числа

—

это целые числа без отрицательных элементов. Обычно начинаются от 1, но если пишут ℕ₀, то начинают с 0. Обозначаются буквой ℕ

ℚ

Рациональные числа

—

числа с дробной частью. Числа вида p/q, где p и q ∈ ℕ и q не равен нулю.

𝕀

Иррациональные числа

—

числа которые нельзя выразить дробью. Для примера это числа: π, e, √2. Не имеют единого стандарта для обозначения, могут обозначаться как 𝕀

ℝ

Вещественные числа

—

объединяют рациональные (ℚ) и иррациональные числа (𝕀). Это все числа, которые можно записать на числовой оси.

ℂ

Комплексные числа

—

числа вида a + bi, где i — мнимая единица (i² = -1)

Нахождение наибольшего общего делителя НОД

Нахождение наименьшего общего кратного НОК

Общие сведения

Дроби могут быть правильными и неправильными.
Правильная дробь — та, у которой числитель меньше знаменателя.
Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя.

Сократить дробь — это значит разделить её числитель и знаменатель на одно и тоже число.

Выделить целую и дробную части из неправильной дроби можно так:

1. Делить числитель на знаменатель с остатком
2. Частное записать как целую часть, остаток записать как числитель, знаменатель оставить

Представить смешанное число в виде дроби можно так: целую часть умножить на знаменатель и прибавить к числителю.

• $x \cdot \frac{a}{b} = \frac{x \cdot a}{b}$

  x умножить на дробь, a деленное на b, равно дроби, в числителе x умножить на a, в знаменателе b. — умножение числа на дробь.

  НО: не путать со смешанными числами:

  $2\frac{3}{5} \cdot 3\frac{3}{4} = \frac{13}{5} \cdot \frac{15}{4}$

  Две целых три пятых умножить на три целых три четвертых равно тринадцать пятых умножить на пятнадцать четвертых.
• $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

  Дробь, a деленное на b, умножить на дробь, c деленное на d, равно дроби, в числителе a умножить на c, в знаменателе b умножить на d. — умножение дробей
• $\frac{\cancel{a}}{b} \cdot \frac{c}{\cancel{a}} = \frac{c}{b}$

  умножение двух дробей: первая дробь: в числителе зачёрскнутая a, в знаменателе b, вторая дробь: в числителе c, в знаменателе зачёркнутая a, равно: дробь: в числителе a, в знаменателе b — сокращение чисел при умножении
• $x + \frac{a}{b} = \frac{\mathbf{x \cdot b} + a}{b}$

  x плюс дробь, a деленное на b, равно дроби, в числителе x умножить на b плюс a, в знаменателе b. — сложение числа с дробью
• $\frac{a}{b} / \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

  Дробь, a деленное на b, разделить на дробь, c деленное на d, равно дроби, в числителе a умножить на d, в знаменателе b умножить на c. — деление дробей
• $\frac{a}{b} / 2 = \frac{a / 2}{b}$

  (a/b) / 2 = (a / 2)/b — деление дроби на число.

  То же самое что:

  $\frac{a}{b} / 3 = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{3} = \frac{a \cdot 1}{b \cdot 3}$

  Дробь, в числителе a, в знаменателе b, разделить на три равно: дробь, a деленное на b, умножить на одну третьих, что равно дроби, в числителе a умножить на один, в знаменателе b умножить на три.
• $1\frac{7}{15} - 1\frac{10}{15} = -\frac{3}{15}$

  Одна целая семь пятнадцатых минус одна целая десять пятнадцатых равно минус три пятнадцатых. — смещение отрицания дробей

Примеры вычислений с дробями

• Вычислить:

  $(2\frac{10}{27})^{-\frac{2}{3}} \cdot 0.81^{-0.5} + (\frac{1}{2})^2 + 2^{-3}$
  $\begin{aligned} &(2\frac{10}{27})^{-\frac{2}{3}} \cdot 0.81^{-0.5} + (\frac{1}{2})^2 + 2^{-3} = \\ &(\frac{64}{27})^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{0.81^{0.5}} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2^3} = \\ &\frac{\sqrt[2]{27^2}}{\sqrt[2]{64^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{0.81}} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \\ &\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{0.9} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \\ &\frac{9}{14.4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \\ &0.625 + 0.25 + 0.125 = 1 \end{aligned}$
• Вычислить:

  $125^{-\frac{2}{3}} - 16^{\frac{1}{2}} + 343^{-\frac{1}{3}} - 3$
  $\begin{aligned} &125^{-\frac{2}{3}} - 16^{\frac{1}{2}} + 343^{-\frac{1}{3}} - 3 = \\ &(5^3)^{-\frac{2}{3}} - \sqrt{16} + \frac{1}{\sqrt[2]{343}} - 3 = \\ &5^{-2} - 4 + \frac{1}{7} - 3 = \\ &\frac{1}{25} - 4 + \frac{1}{7} - 3 = \\ &\frac{7}{175} + \frac{25}{175} - 7 = \\ &\frac{32}{175} - 7 \Rightarrow - \frac{1193}{175} \Rightarrow -6\frac{143}{175} \end{aligned}$
• Найти значение выражения:

  $(2-15^{\frac{1}{4}})(2+15^{\frac{1}{4}}) / (3^\frac{1}{2} - 5^{\frac{1}{2}})^2$
  $\begin{aligned} (2-15^{\frac{1}{4}})(2+15^{\frac{1}{4}}) / (3^\frac{1}{2} - 5^{\frac{1}{2}})^2 = \end{aligned}$

  Использую формулу сокращённого умножения Разность квадратов:

  $\begin{aligned} 2^2 - (15^{\frac{1}{4}})^2 / (3^\frac{1}{2} - 5^{\frac{1}{2}})^2 = \end{aligned}$

  Использую формулу сокращённого умножения Квадрат разности:

  $\begin{aligned} &\frac{2^2 - 15^{\frac{1}{2}}}{3 - 2 \cdot 15^{\frac{1}{2}} + 5} = \\ &\frac{4 - 15^{\frac{1}{2}}}{8 - 2 \cdot 15^{\frac{1}{2}}} = \\ &\frac{4 - 15^{\frac{1}{2}}}{2 (4 - 15^{\frac{1}{2}})} = \frac{1}{2} \end{aligned}$

Общее правило приведения дробей к общему знаменателю

Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, нужно:

• Разложить знаменатель каждой дроби на простые множители.
• Умножить числитель и знаменатель первой дроби на недостающие множители из разложения знаменателя второй дроби.
• Умножить числитель и знаменатель второй дроби на недостающие множители из разложения знаменателя первой дроби.

Пример:

1. Разложим знаменатели на простые множители: 9 = 3 * 3 и 15 = 5 * 3
2. Умножаю числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель 5 из разложения числа 15:
   $\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot \mathbf{5}}{9 \cdot \mathbf{5}} = \frac{25}{45}$
   Пять девятых равно дроби, в числителе пять умножить на пять, в знаменателе девять умножить на пять, что равно двадцать пять сорок пятых.
3. Умножаю числитель и знаменатель второй дроби на недостающие множители 3 из разложения числа 9:
   $\frac{2}{15} = \frac{2 \cdot \mathbf{3}}{15 \cdot \mathbf{3}} = \frac{6}{45}$
   Две пятнадцатых равно дроби, в числителе два умножить на три, в знаменателе пятнадцать умножить на три, что равно шесть сорок пятых.

Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают, знаменатель оставить. Алгоритм такой:

1. Сложить числители данных дробей и сумму записать в числитель новой дроби.
2. В знаменатель новой дроби записать прежний знаменатель.
3. По возможности:
   • сократить полученную дробь
   • выделить целую и дробную части из неправильной дроби

Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, знаменатель оставить. Алгоритм такой:

1. Вычесть из числителя уменьшаемого числитель вычитаемого и разность записать в числитель новой дроби.
2. В знаменатель новой дроби записать прежний знаменатель.
3. По возможности:
   • сократить полученную дробь
   • выделить целую и дробную части из неправильной дроби

Правило сложения ИЛИ вычитания дробей с разными знаменателями

Чтобы выполнить сложение ИЛИ вычитание дробей с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю, а затем применить правило сложения ИЛИ вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример:

Сложение ИЛИ вычитание смешанных чисел

При сложении ИЛИ вычитании смешанных чисел целые и дробные части складываются ИЛИ вычитаются отдельно:

Правило умножения обыкновенных дробей

1. В числитель новой дроби писать произведение числителей умножаемых дробей.
2. В знаменатель новой дроби писать произведение знаменателей умножаемых дробей.
3. По возможности:
   • сократить полученную дробь

Правило умножения смешанных чисел

Алгоритм такой:

1. Записать каждый множитель в виде неправильной дроби.
2. Применить правило умножения обыкновенных дробей.

Правило деления обыкновенных дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное делителю. (Если делим на дробь, то дробь перевернуть. Если делим на число, то преобразовать его в дробь, где в числитель идёт 1, а в знаменатель само число).

Пример:

Правило сравнения десятичных дробей

1. Из двух дробей с разными целыми частями больше та, у которой целая часть больше.
2. Если целые части равны, то больше будет то число, у которого дробная часть больше.

К примеру:
2.31 > 1.31
2.31 < 2.312
2.31 = 2.31

Общие сведения

Нахождение процента (b) от числа (a)

Чтобы найти процент от числа, нужно число разделить на 100 и умножить на число процентов:

$b = \frac{a}{100} \cdot ?\%$

b = a / 100 * ?%

Нахождение числа (a) по его проценту (p%)

$a = \frac{b}{p\%} \cdot 100\%$

a = b / p% * 100%

Нахождение процентного соотношения чисел

Какой процент одно число (b) составляет от другого (a):

$p\% = \frac{b}{a} \cdot 100\%$

p% = b / a * 100%

Общие сведения

Пропорция

—

это равенство двух отношений.

По факту, это утверждение о том, что 2 дроби или 2 отношения равны между собой.

a и d — это крайние члены.

b и c — это средние члены.

Декартова система координат

Впервые прямоугольную систему координат ввёл Рене Декарт В своей работе «Геометрия». На ней изображены 2 оси: ось X (ось абсцисс) и ось Y (ось ординат) и через них задаются координаты.

Графиком обратной пропорциональной зависимости является гипербола.

Примеры использования системы координат

Формулы

Теория

Степень числа — это когда число нужно умножить на само себя указанное количество раз (в простом смысле). Но иногда это может приводить даже к дробям (формулы ниже).

Примеры вычислений со степенями

• Вычислить:

  $(2\frac{10}{27})^{-\frac{2}{3}} \cdot 0.81^{-0.5} + (\frac{1}{2})^2 + 2^{-3}$
  $\begin{aligned} &(2\frac{10}{27})^{-\frac{2}{3}} \cdot 0.81^{-0.5} + (\frac{1}{2})^2 + 2^{-3} = \\ &(\frac{64}{27})^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{0.81^{0.5}} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2^3} = \\ &\frac{\sqrt[2]{27^2}}{\sqrt[2]{64^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{0.81}} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \\ &\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{0.9} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \\ &\frac{9}{14.4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \\ &0.625 + 0.25 + 0.125 = 1 \end{aligned}$
• Вычислить:

  $125^{-\frac{2}{3}} - 16^{\frac{1}{2}} + 343^{-\frac{1}{3}} - 3$
  $\begin{aligned} &125^{-\frac{2}{3}} - 16^{\frac{1}{2}} + 343^{-\frac{1}{3}} - 3 = \\ &(5^3)^{-\frac{2}{3}} - \sqrt{16} + \frac{1}{\sqrt[2]{343}} - 3 = \\ &5^{-2} - 4 + \frac{1}{7} - 3 = \\ &\frac{1}{25} - 4 + \frac{1}{7} - 3 = \\ &\frac{7}{175} + \frac{25}{175} - 7 = \\ &\frac{32}{175} - 7 \Rightarrow - \frac{1193}{175} \Rightarrow -6\frac{143}{175} \end{aligned}$
• Найти значение выражения:

  $(2-15^{\frac{1}{4}})(2+15^{\frac{1}{4}}) / (3^\frac{1}{2} - 5^{\frac{1}{2}})^2$
  $\begin{aligned} (2-15^{\frac{1}{4}})(2+15^{\frac{1}{4}}) / (3^\frac{1}{2} - 5^{\frac{1}{2}})^2 = \end{aligned}$

  Использую формулу сокращённого умножения Разность квадратов:

  $\begin{aligned} 2^2 - (15^{\frac{1}{4}})^2 / (3^\frac{1}{2} - 5^{\frac{1}{2}})^2 = \end{aligned}$

  Использую формулу сокращённого умножения Квадрат разности:

  $\begin{aligned} &\frac{2^2 - 15^{\frac{1}{2}}}{3 - 2 \cdot 15^{\frac{1}{2}} + 5} = \\ &\frac{4 - 15^{\frac{1}{2}}}{8 - 2 \cdot 15^{\frac{1}{2}}} = \\ &\frac{4 - 15^{\frac{1}{2}}}{2 (4 - 15^{\frac{1}{2}})} = \frac{1}{2} \end{aligned}$
• Найти значение выражения:

  $(16^{-0.25} - 3^{-\frac{1}{2}}) \cdot ((3 \sqrt{3})^{-\frac{1}{3}} + 4^{-0.5})$
  $\begin{aligned} (16^{-\frac{1}{4}} - 3^{-\frac{1}{2}}) &\cdot ((3 \cdot 3^{\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{3}} + 4^{-\frac{1}{2}}) \\ (4^{-\frac{1}{2}} - 3^{-\frac{1}{2}}) &\cdot (3^{-\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{6}} + 4^{-\frac{1}{2}}) \\ (2^{-1} - 3^{-0.5}) &\cdot (3^{-\frac{1}{2}} + 4^{-1}) \\ (2^{-1} - 3^{-0.5}) &\cdot (3^{-0.5} + 4^{-1}) \end{aligned}$

  Использую формулу сокращённого умножения «Разность квадратов»:

  $\begin{aligned} (2^{-1})^2 - (3^{-0.5})^2 &= 2^{-2} - 3^{-1} \\ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^1} &= \frac{3}{12} - \frac{4}{12} = -\frac{1}{12} \end{aligned}$

Одночлен

Одночленом называют произведение чисел, переменных и их натуральных степеней.

Примеры одночленов:

• -4x (Тут используется одночлен с коэффициентом -1 )
• 4x
• 7a²b³

Степенью одночлена с коэффициентом, отличным от нуля, называют сумму показателей степеней входящих в него переменных:

• 2a²b³ — одночлен пятой степени
• 2a² — одночлен второй степени
• 2a²b — одночлен третьей степени
• 2 — одночлен нулевой степени

Подобными называют одночлены, у которых одинаковая часть, содержащая степени и переменные:

• 2a²b³ и 4a²b³
• a²b³ и -a²b³

Многочлен

Многочленом называют сумму одночленов. Двухчлен — многочлен из двух членов. Трёхчлен — многочлен из трёх членов.

Многочлен имеет стандартный вид, если все его члены записаны в стандартном виде и среди них нет подобных.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов:

• $2ab - 5a^2 + 2a^3b^2$

  2*a*b - 5*a^2 + 2*a^3 * b^2 тут член с наибольшей степенью —

  $2a^3b^2$

  2*a^3 * b^2, следовательно, степень многочлена равна 5.

Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения одночлена и многочлена или произведения многочленов. В большинстве случаев выносят общий множитель за скобки.

Линейные неравенства с одной переменной

Линейные неравенства с одной переменной: a*x>b , a*x<b , a*x≥b , a*x≤b , где a,b — числа, а x — переменная.

Решением неравенства с одной переменной называют число, подстановка которого приводит неравенство к верному числовому равенству.

Решить неравенство — значит найти его решения или доказать что их нет.

Равносильные неравенства — неравенства, имеющие одно и тоже множество решений. (Аналогично равносильным уравнением)

Система из двух линейных уравнений с двумя переменными

Система из двух линейных уравнений с двумя переменными имеет вид:

$\begin{cases} \color{red}{a_1x + b_1y = c_1} \\ \color{blue}{a_2x + b_2y = c_2} \end{cases}$где a_1,2, b_1,2, c_1,2 — числа, а x,y — переменные

Решением системы уравнений будет пара чисел (x,y), которые будут одновременно решать все уравнения в системе.

Решить систему — значит найти все её решения или доказать, что их нет.

Количество решений у систем может быть несколько или не быть:

Способы решения систем

Решение способом сложения

Допустим есть система:

$\begin{cases} 4x + 2y = 14 \\ 6x - 2y = 10 \end{cases}$

В системе можно делать операции между самими уравнениями, главное чтобы операция влияла на все члены уравнения. Условно при умножении на число, нужно умножать числа (даже после знака равно). Ещё можно суммировать все члены одного уравнения на все члены другого (если до этого умножить уравнение на нужное число, то можно избавиться от переменных во втором слагаемом).

В данном случае берём первое уравнение и суммируем со вторым (умножение не требуется). Получаем:

$\begin{cases} 4x + 2y = 14 \\ 10x - 0 = 24 \end{cases}$

Далее из второго уравнения узнаём x:

$\begin{cases} 4x + 2y &= 14 \\ x &= 24 / 10 = 2.4 \end{cases}$

Найденный x подставляем в первое уравнение:

$\begin{cases} 4 \cdot 2.4 + 2y &= 14 \\ x &= 2.4 \end{cases}$

Далее находим y из первого уравнения:

$\begin{cases} y &= (14 - 9.6) / 2 = 2.2 \\ x &= 2.4 \end{cases}$

Ответ: (2.4, 2.2)

Решение способом подстановки

Допустим есть система:

$\begin{cases} 4x + y = 14 \\ 6x - y = 10 \end{cases}$

Из первого уравнения выражаем y:

$\begin{cases} y &= -4x + 14 \\ 6x - y &= 10 \end{cases}$

Подставляем y во второе уравнение:

$\begin{cases} y &= -4x + 14 \\ 6x - (-4x + 14) &= 10 \end{cases}$

Решая второе уравнение узнаём x:

$\begin{cases} y &= -4x + 14 \\ 6x + 4x -14 &= 10 \end{cases}$

$\begin{cases} y &= -4x + 14 \\ 10x &= 10 + 14 \end{cases}$

$\begin{cases} y &= -4x + 14 \\ x &= 24 / 10 = 2.4 \end{cases}$

Подставляем значение x в первое уравнение и находим y:

$\begin{cases} y &= -4(2.4) + 14 = 4.4 \\ x &= 2.4 \end{cases}$

Ответ: (2.4, 4.4)

Примеры решения систем

$\begin{cases} 0.1x + 0.2y &= 0.3 \\ 0.4x + 0.5y &= 0.9 \end{cases}$

Умножаем первое уравнение на -4 и суммируем со вторым:

$\begin{cases} 0.1x + 0.2y &= 0.3 \\ 0 + -0.3y &= -0.3 \end{cases}$

$\begin{cases} 0.1x + 0.2y &= 0.3 \\ y &= -0.3 / -0.3 = 1 \end{cases}$

$\begin{cases} 0.1x + 0.2(1) &= 0.3 \\ y &= 1 \end{cases}$

$\begin{cases} x &= (0.3 - 0.2) / 0.1 = 1 \\ y &= 1 \end{cases}$

---

$\begin{cases} 0.6x - 0.2 = 19 - 3y \\ 0.5y - \frac{5}{6} = 15 \frac{2}{3} - 2x \end{cases}$

$\begin{cases} 0.6x + 3y = 19 + \frac{1}{5} = \frac{96}{5} = \frac{192}{10} \\ 2x + 0.5y = 15\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{99}{6} = \frac{33}{2} = \frac{165}{10} \end{cases}$

$\begin{cases} y = (\frac{192}{10} - 0.6x) / 3 =\frac{64}{10} - 0.2x \\ 2x + 0.5(\frac{64}{10} - 0.2x) = \frac{165}{10} \end{cases}$

$\begin{cases} y = 6.4 - 0.2x \\ 2x + \frac{32}{10} - 0.1x = \frac{165}{10} \end{cases}$

$\begin{cases} y = 6.4 - 0.2x \\ 1.9x = 16.5 - 3.2 = 13.3 \end{cases}$

$\begin{cases} y = 6.4 - 0.2x \\ 1.9x = 13.3 / 1.9 = 7 \end{cases}$

$\begin{cases} y = 6.4 - 0.2 \cdot 7 = 5\\ 1.9x = 7 \end{cases}$

Линейная функция

Линейной функцией называют функцию вида: y = a * x + b, где a и b — числа, а x и y — переменные.

Областью определения линейной функции y = a * x + b является множество всех чисел.

Множеством значений линейной функции y = a * x + b является множество всех чисел, при a ≠ 0. Если a = 0, то множество значений состоит из b.

На координатной плоскости линейная функция выглядит как прямая. Число a называют угловым коэффициентом прямой (для функции y = a * x + b).

Формулы

Теория

√ Квадратный корень

— это операция над числом a, результатом которой будет число b, при умножении на само себя будет давать число a.

Примеры: √4 = 2, √16 = 4, √0 = 0.

Квадратный корень из нуля равен нулю.