Общие сведения

Дроби могут быть правильными и неправильными.
Правильная дробь — та, у которой числитель меньше знаменателя.
Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя.

Сократить дробь — это значит разделить её числитель и знаменатель на одно и тоже число.

Выделить целую и дробную части из неправильной дроби можно так:

1. Делить числитель на знаменатель с остатком
2. Частное записать как целую часть, остаток записать как числитель, знаменатель оставить

Представить смешанное число в виде дроби можно так: целую часть умножить на знаменатель и прибавить к числителю.

• $x \cdot \frac{a}{b} = \frac{x \cdot a}{b}$

  x умножить на дробь, a деленное на b, равно дроби, в числителе x умножить на a, в знаменателе b. — умножение числа на дробь.

  НО: не путать со смешанными числами:

  $2\frac{3}{5} \cdot 3\frac{3}{4} = \frac{13}{5} \cdot \frac{15}{4}$

  Две целых три пятых умножить на три целых три четвертых равно тринадцать пятых умножить на пятнадцать четвертых.
• $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

  Дробь, a деленное на b, умножить на дробь, c деленное на d, равно дроби, в числителе a умножить на c, в знаменателе b умножить на d. — умножение дробей
• $\frac{\cancel{a}}{b} \cdot \frac{c}{\cancel{a}} = \frac{c}{b}$

  умножение двух дробей: первая дробь: в числителе зачёрскнутая a, в знаменателе b, вторая дробь: в числителе c, в знаменателе зачёркнутая a, равно: дробь: в числителе a, в знаменателе b — сокращение чисел при умножении
• $x + \frac{a}{b} = \frac{\mathbf{x \cdot b} + a}{b}$

  x плюс дробь, a деленное на b, равно дроби, в числителе x умножить на b плюс a, в знаменателе b. — сложение числа с дробью
• $\frac{a}{b} / \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

  Дробь, a деленное на b, разделить на дробь, c деленное на d, равно дроби, в числителе a умножить на d, в знаменателе b умножить на c. — деление дробей
• $\frac{a}{b} / 2 = \frac{a / 2}{b}$

  (a/b) / 2 = (a / 2)/b — деление дроби на число.

  То же самое что:

  $\frac{a}{b} / 3 = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{3} = \frac{a \cdot 1}{b \cdot 3}$

  Дробь, в числителе a, в знаменателе b, разделить на три равно: дробь, a деленное на b, умножить на одну третьих, что равно дроби, в числителе a умножить на один, в знаменателе b умножить на три.
• $1\frac{7}{15} - 1\frac{10}{15} = -\frac{3}{15}$

  Одна целая семь пятнадцатых минус одна целая десять пятнадцатых равно минус три пятнадцатых. — смещение отрицания дробей

Примеры вычислений с дробями

• Вычислить:

  $(2\frac{10}{27})^{-\frac{2}{3}} \cdot 0.81^{-0.5} + (\frac{1}{2})^2 + 2^{-3}$
  $\begin{aligned} &(2\frac{10}{27})^{-\frac{2}{3}} \cdot 0.81^{-0.5} + (\frac{1}{2})^2 + 2^{-3} = \\ &(\frac{64}{27})^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{0.81^{0.5}} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2^3} = \\ &\frac{\sqrt[2]{27^2}}{\sqrt[2]{64^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{0.81}} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \\ &\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{0.9} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \\ &\frac{9}{14.4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \\ &0.625 + 0.25 + 0.125 = 1 \end{aligned}$
• Вычислить:

  $125^{-\frac{2}{3}} - 16^{\frac{1}{2}} + 343^{-\frac{1}{3}} - 3$
  $\begin{aligned} &125^{-\frac{2}{3}} - 16^{\frac{1}{2}} + 343^{-\frac{1}{3}} - 3 = \\ &(5^3)^{-\frac{2}{3}} - \sqrt{16} + \frac{1}{\sqrt[2]{343}} - 3 = \\ &5^{-2} - 4 + \frac{1}{7} - 3 = \\ &\frac{1}{25} - 4 + \frac{1}{7} - 3 = \\ &\frac{7}{175} + \frac{25}{175} - 7 = \\ &\frac{32}{175} - 7 \Rightarrow - \frac{1193}{175} \Rightarrow -6\frac{143}{175} \end{aligned}$
• Найти значение выражения:

  $(2-15^{\frac{1}{4}})(2+15^{\frac{1}{4}}) / (3^\frac{1}{2} - 5^{\frac{1}{2}})^2$
  $\begin{aligned} (2-15^{\frac{1}{4}})(2+15^{\frac{1}{4}}) / (3^\frac{1}{2} - 5^{\frac{1}{2}})^2 = \end{aligned}$

  Использую формулу сокращённого умножения Разность квадратов:

  $\begin{aligned} 2^2 - (15^{\frac{1}{4}})^2 / (3^\frac{1}{2} - 5^{\frac{1}{2}})^2 = \end{aligned}$

  Использую формулу сокращённого умножения Квадрат разности:

  $\begin{aligned} &\frac{2^2 - 15^{\frac{1}{2}}}{3 - 2 \cdot 15^{\frac{1}{2}} + 5} = \\ &\frac{4 - 15^{\frac{1}{2}}}{8 - 2 \cdot 15^{\frac{1}{2}}} = \\ &\frac{4 - 15^{\frac{1}{2}}}{2 (4 - 15^{\frac{1}{2}})} = \frac{1}{2} \end{aligned}$

Общее правило приведения дробей к общему знаменателю

Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, нужно:

• Разложить знаменатель каждой дроби на простые множители.
• Умножить числитель и знаменатель первой дроби на недостающие множители из разложения знаменателя второй дроби.
• Умножить числитель и знаменатель второй дроби на недостающие множители из разложения знаменателя первой дроби.

Пример:

1. Разложим знаменатели на простые множители: 9 = 3 * 3 и 15 = 5 * 3
2. Умножаю числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель 5 из разложения числа 15:
   $\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot \mathbf{5}}{9 \cdot \mathbf{5}} = \frac{25}{45}$
   Пять девятых равно дроби, в числителе пять умножить на пять, в знаменателе девять умножить на пять, что равно двадцать пять сорок пятых.
3. Умножаю числитель и знаменатель второй дроби на недостающие множители 3 из разложения числа 9:
   $\frac{2}{15} = \frac{2 \cdot \mathbf{3}}{15 \cdot \mathbf{3}} = \frac{6}{45}$
   Две пятнадцатых равно дроби, в числителе два умножить на три, в знаменателе пятнадцать умножить на три, что равно шесть сорок пятых.

Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают, знаменатель оставить. Алгоритм такой:

1. Сложить числители данных дробей и сумму записать в числитель новой дроби.
2. В знаменатель новой дроби записать прежний знаменатель.
3. По возможности:
   • сократить полученную дробь
   • выделить целую и дробную части из неправильной дроби

Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, знаменатель оставить. Алгоритм такой:

1. Вычесть из числителя уменьшаемого числитель вычитаемого и разность записать в числитель новой дроби.
2. В знаменатель новой дроби записать прежний знаменатель.
3. По возможности:
   • сократить полученную дробь
   • выделить целую и дробную части из неправильной дроби

Правило сложения ИЛИ вычитания дробей с разными знаменателями

Чтобы выполнить сложение ИЛИ вычитание дробей с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю, а затем применить правило сложения ИЛИ вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример:

Сложение ИЛИ вычитание смешанных чисел

При сложении ИЛИ вычитании смешанных чисел целые и дробные части складываются ИЛИ вычитаются отдельно:

Правило умножения обыкновенных дробей

1. В числитель новой дроби писать произведение числителей умножаемых дробей.
2. В знаменатель новой дроби писать произведение знаменателей умножаемых дробей.
3. По возможности:
   • сократить полученную дробь

Правило умножения смешанных чисел

Алгоритм такой:

1. Записать каждый множитель в виде неправильной дроби.
2. Применить правило умножения обыкновенных дробей.

Правило деления обыкновенных дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное делителю. (Если делим на дробь, то дробь перевернуть. Если делим на число, то преобразовать его в дробь, где в числитель идёт 1, а в знаменатель само число).

Пример:

Правило сравнения десятичных дробей

1. Из двух дробей с разными целыми частями больше та, у которой целая часть больше.
2. Если целые части равны, то больше будет то число, у которого дробная часть больше.

К примеру:
2.31 > 1.31
2.31 < 2.312
2.31 = 2.31