Формулы

Общие формулы

Непримечательный треугольник с указанием сторон и углов. Стороны: a, b, c. Углы: α, β, γ
Треугольник без особенностей
  • P = a + b + c — Периметр

    Площадь (Формула Герона):

    P = a + b + c

Формулы прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник с указанием сторон и углов
  • f = √e² + g² (Теорема Пифагора)
  • f = e / cos(α) == g / cos(ω) == e / sin(ω) == g / sin(α)
  • e = f * cos(α) == f * sin(ω) == g * tg(ω) == g / tg(α)
  • g = f * cos(ω) == f * sin(α) == e * tg(α) == e / tg(ω)
  • S = (e * g) / 2 (Площадь)
  • e² = g² + f² - 2gf * cos(ω) (Теорема косинусов)
  • g² = e² + f² - 2ef * cos(α) (Теорема косинусов)
  • f² = e² + g² - 2eg * cos(γ) (Теорема косинусов)
  • S = (e² * √3) / 4 НО: только если треугольник равносторонний

Теоремы

  • Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°.

    Теорема: В треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона, а напротив большей стороны лежит больший угол.

    Теорема (о неравенстве треугольника): Любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

    Теорема (о свойстве точек биссектрисы угла): Любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.

  • Если в треугольнике высота является медианой, то треугольник равнобедренный
  • Если в треугольнике высота является биссектрисой, то треугольник равнобедренный
  • Если в треугольнике медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный
  • В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона
  • Любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон
  • О свойстве точек биссектрисы угла. Любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.

  • Теорема (о катете, лежащем против угла в 30°): Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно: Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.

  • Треугольник, на котором показано как 3 биссектрисы пересекаются в центре вписанного круга
    • Каждая биссектриса угла в треугольнике делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные к двум другим сторонам треугольника: BN/BA = CN/CA ; NB/NC = AB/AC
    • Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
  • Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
  • Прямоугольный треугольник с указанием сторон и углов

    Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусу противолежащих углов. Кроме того, это отношение равно диаметру окружности, описанной вокруг этого треугольника:

    a / sin(α) == b / sin(β) == c / sin(γ) == 2R

Внешний угол треугольника

Треугольник со смежными внешними углами. Внешние углы: α, β, γ. Внутренние углы: ε, δ, ζ.
Треугольник со смежными внешними углами
Смежный угол треугольника
—
это угол, смежный его внутреннему углу.
На рисунке углы α, β, γ являются смежными

Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Следуя теореме можно вычислить: α = δ + ζ, β = ε + ζ, γ = ε + δ

Подробные сведения

Треугольник, на котором обозначены высота, медиана, биссектриса

Треугольником называют трёхзвенную замкнутую ломаную вместе с частью плоскости, которую она ограничивает.

Равными треугольниками называют треугольники, которые можно совместить наложением.

Периметром треугольника (многоугольника) называют сумму длин его сторон.

Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на её продолжение.

Медианой треугольника называют отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны

Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой пересечения биссектрисы с противоположной стороны

Виды треугольников в зависимости от числа равных сторон

Разносторонний треугольник
Разносторонний треугольник
—
все стороны разной длины.
Равнобедренный треугольник
Равнобедренный треугольник
—
2 стороны одинаковой длины.
Равносторонний треугольник
Равносторонний треугольник
—
все стороны одинаковой длины.

Теорема (о свойстве углов при основании): В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема (о свойстве биссектрисы равнобедренного треугольника): В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является его медианой и высотой.

Теорема (признак равнобедренного треугольника). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Признаки равнобедренного треугольника

Теорема: Если в треугольнике высота является медианой, то треугольник равнобедренный.

Теорема: Если в треугольнике высота является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Теорема: Если в треугольнике медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Виды треугольников в зависимости от величины наибольшего угла

Остроугольный треугольник
Остроугольный треугольник
—
наибольший угол менее 90°.
Прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник
—
наибольший угол равен 90°.
Тупоугольный треугольник
Тупоугольный треугольник
—
наибольший угол более 90°.

Признаки равенства треугольников

  • Первый признак (по двум сторонам и углу между ними): если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • Второй признак (по стороне и двум прилежащим к ней углам): если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • Третий признак (по трем сторонам): Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признаки равенства прямоугольных трегольников

  1. По двум катетам. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  2. По катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  3. По катету и противолежащему острому углу. Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  4. По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  5. По катету и гипотенузе. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.