Общие сведения

Треугольник, на котором обозначены высота, медиана, биссектриса

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на её продолжение.

Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны

Биссектриса идёт из угла треугольника и делит этот угол пополам

Более подробное описание

Формулы прямоугольного треугольника

  • f = √e² + g² (Теорема Пифагора)
  • f = e / cos(α) == g / cos(ω) == e / sin(ω) == g / sin(α)
  • e = f * cos(α) == f * sin(ω) == g * tg(ω) == g / tg(α)
  • g = f * cos(ω) == f * sin(α) == e * tg(α) == e / tg(ω)
  • S = (e * g) / 2 (Площадь)
  • e² = g² + f² - 2gf * cos(ω) (Теорема косинусов)
  • g² = e² + f² - 2ef * cos(α) (Теорема косинусов)
  • f² = e² + g² - 2eg * cos(γ) (Теорема косинусов)
  • Формула Герона: S = √П (П - e) (П - g) (П - f), где П = (e + f + g) / 2 (полупериметр)
  • S = (e² * √3) / 4 НО: только если треугольник равносторонний
Прямоугольный треугольник с указанием сторон и углов

Теоремы

  • Если в треугольнике высота является медианой, то треугольник равнобедренный
  • Если в треугольнике высота является биссектрисой, то треугольник равнобедренный
  • Если в треугольнике медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный
  • В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона
  • Любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон
  • О свойстве точек биссектрисы угла. Любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  • Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
  • Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то этот катет лежит против угла в 30°.
  • Треугольник, на котором показано как 3 биссектрисы пересекаются в центре вписанного круга
    • Каждая биссектриса угла в треугольнике делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные к двум другим сторонам треугольника: BN/BA = CN/CA ; NB/NC = AB/AC
    • Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
  • Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
  • Прямоугольный треугольник с указанием сторон и углов

    Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусу противолежащих углов. Кроме того, это отношение равно диаметру окружности, описанной вокруг этого треугольника:

    a / sin(α) == b / sin(β) == c / sin(γ) == 2R

Подробные сведения

Треугольник, на котором обозначены высота, медиана, биссектриса

Треугольником называется трёхзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает.

Равными треугольниками называются треугольники, которые можно совместить наложением.

Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого 2 стороны равны.

Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого все стороны равны.

Периметром треугольника (многоугольника) называется сумма длин его сторон.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на её продолжение.

Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой пересечения биссектрисы с противоположной стороны

Тризнаки равенства треугольников

  • Первый признак (по двум сторонам и углу между ними): если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • Второй признак (по стороне и двум прилежащим к ней углам): если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • Третий признак (по трем сторонам): Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Признаки равенства прямоугольных трегольников
  1. По двум катетам. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  2. По катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  3. По катету и противолежащему острому углу. Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  4. По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  5. По катету и гипотенузе. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.