База по геометрии / WissWan

Определения

Прямая: это прямая линия, бесконечная в обе стороны.
Луч: это часть прямой, но имеет начало и не имеет конца (бесконечен в одну сторону).
Отрезок: это часть прямой, но имеет концы на обеих сторонах (длина ограничена двумя точками).
∥ Параллельные прямые: это прямые, которые не пересекаются.
⊥ Перпендикулярные прямые: это прямые, которые при пересечении образуют между собой прямой угол.
Аксиома: это утверждения о свойствах фигур, которые принимаются без доказательств.
Теорема: это утверждение, верность которой проверяется путём логических рассуждений, которые называют доказательством
Пересекающиеся прямые: это те, которые имеют общую точку пересечения.
Параллельные прямые: это те, которые имеют лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Противоположные лучи: имеют общее начало и лежат на одной прямой. Их ещё называют дополнительными.
Равные отрезки: имеют одинаковую длину и их можно совместить наложением.
Длина отрезка: это расстояние между двумя его концами (точками).
Геометрическое место точек: это множество точек, обладающих общим свойством.

Свойства параллельных прямых

Две параллельные прямые с сечением. Углы α и β накрест лежащие, углы α и γ соответственные, углы α и ω смежные. — Две параллельные прямые пересечены секущей

Признаки параллельности прямых

Теорема (первый признак параллельности прямых): Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. На рисунке углы α и β равны, они накрест лежащие.

Теорема (второй признак параллельности прямых): Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. На рисунке углы α и γ равны, они соответственные.

Теорема (третий признак параллельности прямых): Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. На рисунке сумма углов ω и β равна 180°.

Другие свойства

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов между секущей и параллельными прямыми): Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны. На рисунке углы α и β равны, они накрест лежащие.

Теорема (о свойстве соответственных углов между секущей и параллельными прямыми): Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. На рисунке углы α и γ равны, они соответственные.

Теорема (о свойстве односторонних углов между секущей и параллельными прямыми): Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°. На рисунке сумма углов ω и β равна 180°.

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми): Все точки одной из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Углы

Угол: это геометрическая фигура, которую образуют 2 луча, выходящие из одной точки и часть плоскости между ними.
Биссектриса угла: это луч, который выходит из вершины угла (откуда выходят оба луча угла) и делит угол пополам.
Развёрнутым углом: называют угол, который равен 180°, а образующие его лучи являются дополнительными лучами.
Смежными углами: называют углы, у которых одна сторона общая, а остальные являются дополнительными лучами:

Теорема (свойтво смежных углов): Сумма смежных углов равна 180°.

Смежные углы
Красный луч разделяет развёрнутый угол на 2 смежных угла.

Вертикальные углами: называют те углы, у которых образующие лучи являются дополнительными другого угла:

Теорема (свойтво вертикальных углов): Вертикальные углы равны.

Перпендикулярные прямые: пересекаются под прямым углом.
Перпендикуляром: к прямой называют отрезок, который лежит на другой прямой, которая пересекает первую и перпендикулярна ей. Их точку пересечения называют основанием

Теорема: Через точку, лежащую на прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой и только одну.

Теорема: Через точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой и только одну.

Теорема (о двух прямых, перпендикулярных третьей): На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей параллельны между собой.

Теорема: Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Виды углов

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Две параллельные прямые пересечены двумя параллельными секущими. Указаны углы: α, β, γ, δ, ω. — Две параллельные прямые пересечены двумя парралельными секущими

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами): Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).
На рисунке углы α, β, γ, δ и ω соответственно параллельны, потому что их образуют параллельные друг другу линии. Следуя теореме: углы α, β, γ равны, а углы δ и ω в сумме образуют угол в 180°. Углы δ и γ равны, так как они накрест лежащие.

Два острых угла, лучи основания второго угла перпендикулярны лучам первого угла (в смысле, один луч перпендикулярен одному лучу первого угла, а второй луч перпендикулярен второму). Углы помечены как: α, β — Два угла с перпендикулярными основаниями (a)

Два угла, перый острый и помечен как α, второй тупой и помечен как β. Образующие линии второго угла перпендикулярны образующим линиям первого угла. — Два угла с перпендикулярными основаниями (b)

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами): Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).
На рисунке a углы α и β соответственно перпендикулярны, потому что их образуют перпендикулярные друг другу линии. Следуя теореме: углы равны.
На рисунке b углы α и γ соответственно перпендикулярны. Если продолжить одну из образующих линий угла γ, то окажется что образуется второй угол β, который смежный с углом γ и их сумма будет равна 180°. Следуя теореме: сумма углов α и γ равна 180°.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Горизонтальный отрезок A, B. Который по середине пересекает отрезок C, D, образуя с отрезком A, B прямой угол. Отрезок C, D и является серединным перпендикуляром. — Серединный перпендикуляр

Серединным перпендикуляром к отрезку: называют перпендикулярную прямую этому отрезку, которая проходит через его середину.

Теорема (о серединном перпендикуляре к отрезку): Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.